Contributo di un mio ex alunno, Luca Restino.
I Problemi per il millennio (Millennium problems) sono stati posti all'attenzione dei matematici dall' Istituto matematico Clay. Ad imitazione dei problemi di Hilbert, l'istituto ha elencato 7 problemi allora irrisolti della matematica. A differenza però dei precedenti, per ognuno di essi di cui si fornisca la dimostrazione è stato assegnato un premio di un milione di dollari. I premi vennero istituiti durante il convegno del Millennio di Parigi, il 24 maggio 2000. Il primo ad essere risolto, sembra essere la congettura di Poincaré, ad opera del russo Grigori Perelman, e di due cinesi, Zhu Xiping e Cao Huaidong. Perelman ha già rifiutato la medaglia Fields, e sembra non essere disposto ad accettare il premio.
Un'altra differenza, molto più profonda, è che mentre i problemi di Hilbert riguardavano campi allora all'avanguardia della matematica, i sette problemi del millennio sono molto conservativi. Sono rimasti solo 3 degli originali problemi di Hilbert senza una risposta anche solo parziale a tutt'oggi (2006), tra cui il più importante è l'Ipotesi di Riemann, anche se una proposta di soluzione è al vaglio della comunità. Tutti i problemi del millennio hanno profonde implicazioni economiche, dalla sicurezza bancaria alle transazioni via internet, all'applicabilità diretta nella soluzione di problemi tecnologici pressanti: ad esempio se la Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer fosse provata vera, sarebbe possibile rompere la criptatura basata sulle funzioni ellittiche in tempo polinomiale, e non esponenziale. Inoltre, se l'ipotesi di Riemann fosse vera, sarebbe possibile trovare un algoritmo per rompere anche le criptature basate sui numeri primi in tempo polinomiale
Il problema è riuscire a dimostrare o confutare il fatto che non esistono problemi NP o detto con termini diversi dimostrare che tutti i problemi NP possono essere resi di tipo P. Questa è una domanda molto importante per l'informatica teorica. Vedi teoria della complessità algoritmica per una discussione più completa.
La congettura di Hodge
La Congettura di Hodge riguarda gli spazi proiettivi e le varietà algebriche. I cicli di Hodge sono delle combinazioni lineari razionali di cicli algebrici.
La congettura di Poincaré
In topologia, la superfice sfera a due dimensioni è caratterizzata dal fatto che è semplicemente connessa. La Congettura di Poincaré dice che la sfera è l'unica superficie che è semplicente connessa anche se la si porta a n-dimensioni con n un numero positivo maggiore di 0. Questo problema è stato risolto per tutte le dimensioni superiori a 3, risolverlo per la dimensione 3 è fondamentale per dimostrare la congettura. È stata accettata la bozza di soluzione di Grigori Perelman, che ha portato due ricercatori cinesi, Zhu Xiping e Cao Huaidong alla soluzione esplicita. Perelman è stato insignito sia della Medaglia Fields[1], sia del Premio Clay di 1.000.000 di dollari, ma ha rifiutato entrambi è si è ritirato a vita privata, sembra vivendo con la madre, in un bosco, senza alcuna tecnologia. [2]
L'ipotesi di Riemann
L'ipotesi di Riemann riguarda la distribuzione dei numeri primi. Riemann ipotizzò che la distribuzione dei numeri primi seguisse una particolare funzione chiamata funzione zeta di Riemann. Questa ipotesi è stata verificata con i computer per un miliardo e mezzo di numeri primi, ma la sua verifica definitiva attraverso un teorema avrebbe profonde ripercussioni nella matematica pura come nelle applicazioni di crittologia. Una controversa proposta di soluzione (non per la soluzione in sè, ma per l'autore) è stata presentata da Louis de Branges de Bourcia nel 2004
Teoria di Yang-Mills
In fisica, la Teoria quantistica di Yang-Mills descrive la rottura della simmetria delle fasi primordiali dell'universo. Questa teoria segnò una rottura totale con le vecchie teorie e attualmente è un cardine del Modello Standard. Il problema è la mancanza di una verifica teorica di alcuni degli elementi matematici utilizzati nella teoria.
Equazioni di Navier-Stokes
Le equazioni di Navier - Stokes descrivono il comportamento dei fluidi, ossia liquidi e gas. Anche se sono state formulate nel XIX secolo, tuttora non sono state comprese appieno, nè esiste una loro soluzione analitica, tranne pochi casi particolari. Il problema è elaborare una teoria matematica che consenta di comprenderle ed analizzarle. Questa teoria sarebbe molto utile per gli studi di fluidodinamica.
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
La congettura di Birch - Swinnerton-Dyer è basata su un particolare tipo di curve, le curve ellittiche nei numeri razionali. Questa congettura si basa sul fatto che le equazioni abbiano finite o infinite soluzioni razionali. Il decimo problema di Hilbert era simile ma trattava delle equazioni diofantee e si è dimostrato che non si è in grado neanche di decidere se esiste o no una soluzione.
