a) Definizioni e proprietà di e e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 ...
b) Dimostrazione della relazione di Eulero.
Un qualunque numero complesso si può rappresentare come z=a+ib
Ed allora in questo caso (*), (si veda la figura)
Differenziando si ha
Quindi:
=
Con = π si ha:
ei π = -1 oppure ei π +1=0, ritenuta la più bella formula mai trovata, in cui sono contenuti tutti i numeri più importanti e misteriosi.
Siccome, in generale , possiamo dire che un qualsiasi numero complesso z ha anche una sua rappresentazione mediante esponenziale complesso:
z = r ·
con
, modulo e
fase=
Corollario:
=
=
Sommando membro a membro, dopo semplici passaggi si ha:
Che esprimono una relazione fondamentale tra le funzioni trigonometriche e quelle esponenziali.
Per quanto concerne la trasformata di Laplace, si veda : http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Laplace
* ricordiamo il concetto di differenziale: se dy/dx = y' di ha, ovviamente dy = y' dx
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