Appunti su e
a) Definizioni e proprietà di e
 e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 ...
 e := lim_{n	oinfty} left(1+frac{1}{n}ight)^n

e := sum_{n=0}^infty {1 over n!} = {1 over 0!} + {1 over 1!}   + {1 over 2!} + {1 over 3!}   + {1 over 4!} + cdots

!, {d over dz} e^z = e^z

b) Dimostrazione della relazione di Eulero.

Un qualunque numero complesso si può rappresentare come z=a+ib

Ed allora in questo caso (*), (si veda la figura)

Differenziando si ha

Quindi:

 =  

Con  =  π si ha:

ei π =  -1 oppure ei π +1=0, ritenuta la più bella formula mai trovata, in cui sono contenuti tutti i numeri più importanti e misteriosi.

Siccome, in generale , possiamo dire che un qualsiasi numero complesso z  ha anche una sua rappresentazione mediante esponenziale complesso:

z = r ·

con

r = sqrt{x^2 + y^2}, modulo e

fase=

phi = arctan frac{y}{x}

 

 

Corollario:

=

=

Sommando membro a membro, dopo semplici passaggi si ha:

Che esprimono una relazione fondamentale tra le funzioni trigonometriche e quelle esponenziali.

Per quanto concerne la trasformata di Laplace, si veda : http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Laplace

 

* ricordiamo il concetto di differenziale:
se dy/dx = y' di ha, ovviamente dy = y' dx